Mathématiques du secondaire qualifiant

Espace analytique (1)

Exercice 1 tp

L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé (O;i;j;k). On considère trois vecteurs
u(1;2;3); v(3;5;5) et w(4;7;8).
1) Calculer det(u;v;w).
2) u; v; w sont ils coplanaires ?

Correction

Rappel u; v; w sont coplanaires si et seulement si det(u;v;w)=0.

1) det(u;v;w)= 1 3 4
2 5 7
3 5 8
= 1 5 7 - 2 3 4 + 3 3 4
5 8 5 8 5 7

=1(5.8-5.7)-2(3.8-5.4)+3(3.7-5.4)=0
donc det(u;v;w)=0.

2) Puisque det(u;v;w)=0
alors u; v et w sont coplanaires.

Exercice 2 tp

L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé (O;i;j;k). On considère trois vecteurs u(2;4;3); v(1;2;3) et w(4;5;2).
1) Calculer det(u;v;w).
2) u; v;w sont'il coplanaires ?

Exercice 3 tp

L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé (O;i;j;k). On considère dans 𝔼 quatre points A(0;-1;2) ; B(2;3;5) ; C(1;1;5) et D(4;4;7).
1) Calculer det(AB;AC;AD).
2) Les points A; B; C et D sont'il coplanaires ?

Correction

1) AB=2i+4j+3k; AC=i+2j+3k et AD=4i+5j+5k.

det(u;v;w)= 2 1 4
4 2 5
3 3 5
= 2 2 5 - 4 1 4 + 3 1 4
3 5 3 5 2 5

=2(2.5-3.5)-4(1.5-3.4)+3(1.5-2.4)=9
donc det(AB;AC;AD)=9

2) Puisque det(AB;AC;AD)≠0 alors AB; AC; AD ne sont pas coplanaires et par conséquent les points A; B; C et D ne sont pas coplanaires.

Exercice 4 tp

L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé (O;i;j;k). On considère dans 𝔼 un plan P passant par A(1;2;3) et orienté par u(4;-1;5) et v(0;7;-2).
1) Déterminer une représentation paramétrique du plan P.

2) Le point B(-3;10;-4) appartient il au plan P ?

Correction

1) M(x;y;z)∈P ⇔

(S): { x = 1+4t (k;t∈IR)
y = 2-t+7k
z = 3+5t-2k

ce système (S) est une représentation paramétrique du plan P.

2) Le triplet (-3;10;-4) vérifie le système si
(∃t;r∈IR): OB=tu+kv
pour cela on pose x=-3 ; y=10 ; z=-4

{ -3=1+4t { 4t=-4
10=2-t+7k -t+7k=8
-4=3+5t-2k 5t-2k=-7

(1) 4t=-4⇔t=-1
(2) -(-1)+7k=8⇔k=1
(3) 5.(-1)-2.1=-5-2=-7
donc (∃t=-1;k=1): OB=-u+v
ainsi B∈P.