Exercice 1 tp

L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→;k^→). On considère trois vecteurs
u^→(1;2;3); v^→(3;5;5) et w^→(4;7;8).
1) Calculer det(u^→;v^→;w^→).
2) u^→; v^→; w^→ sont ils coplanaires ?

Correction

Rappel u^→; v^→; w^→ sont coplanaires si et seulement si det(u^→;v^→;w^→)=0.

=1(5.8-5.7)-2(3.8-5.4)+3(3.7-5.4)=0
donc det(u^→;v^→;w^→)=0.

2) Puisque det(u^→;v^→;w^→)=0
alors u^→; v^→ et w^→ sont coplanaires.

Exercice 2 tp

L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→;k^→). On considère trois vecteurs u^→(2;4;3); v^→(1;2;3) et w^→(4;5;2).
1) Calculer det(u^→;v^→;w^→).
2) u^→; v^→;w^→ sont'il coplanaires ?

Exercice 3 tp

L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→;k^→). On considère dans 𝔼 quatre points A(0;-1;2) ; B(2;3;5) ; C(1;1;5) et D(4;4;7).
1) Calculer det(AB^→;AC^→;AD^→).
2) Les points A; B; C et D sont'il coplanaires ?

Correction

1) AB^→=2i^→+4j^→+3k^→; AC^→=i^→+2j^→+3k^→ et AD^→=4i^→+5j^→+5k^→.

=2(2.5-3.5)-4(1.5-3.4)+3(1.5-2.4)=9
donc det(AB^→;AC^→;AD^→)=9

2) Puisque det(AB^→;AC^→;AD^→)≠0 alors AB^→; AC^→; AD^→ ne sont pas coplanaires et par conséquent les points A; B; C et D ne sont pas coplanaires.

Exercice 4 tp

L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→;k^→). On considère dans 𝔼 un plan P passant par A(1;2;3) et orienté par u^→(4;-1;5) et v^→(0;7;-2).
1) Déterminer une représentation paramétrique du plan P.

2) Le point B(-3;10;-4) appartient il au plan P ?

Correction

1) M(x;y;z)∈P ⇔

ce système (S) est une représentation paramétrique du plan P.

2) Le triplet (-3;10;-4) vérifie le système si
(∃t;r∈IR): OB^→=tu^→+kv^→
pour cela on pose x=-3 ; y=10 ; z=-4

(1) 4t=-4⇔t=-1
(2) -(-1)+7k=8⇔k=1
(3) 5.(-1)-2.1=-5-2=-7
donc (∃t=-1;k=1): OB^→=-u^→+v^→
ainsi B∈P.