تمرين 1 tp

f(x)=x³+x²
بين ان f قابلة للاشتقاق في 1
ثم حدد معادلة المماس عند النقطة A(1;f(1))

تصحيح

lim x→1	f(x)-f(1)	=	lim x→1	x³+x²-2
	x-1			x-1

x³	+x²	+0x	-2		x-1
-x³	+x²				x²+2x+2
0	+2x²	+0x	-2
	-2x²	+2x
	0	2x	-2
		-2x	+2
		0	0

p(x)=x³+x²-2 تقبل القسمة على (x-1) لان p(1)=0
اذن

lim x→1	f(x)-f(1)	=	lim x→1	(x-1)(x²+2x+2)
	x-1			x-1

= lim_x→1 (x²+2x+2) =5
وهذا يعني ان الدالة قابلة للاشتقاق في 1 والعدد المشتق هو f'(1)=5
وبالتالي الدالة f تقبل مماسا عند A(1;2) معادلته هي
T: y=f'(1)(x-1)+f(1)
T: y=5x-3

تمرين 2 tp

لتكن f دالة عددية معرفة كالتالي

f(x)=	1	x³-2x²+3x-2
	3

1) احسب النهايات عند محدات الدالة f
2) (q1) ادرس رتابة الدالة f وانشئ جدول التغيرات
(q2) استنتج مطارف الدالة f

تصحيح

1) D=IR

lim -∞	f(x)=	lim -∞	1	x³= - ∞
			3
lim +∞	f(x)=	lim +∞	1	x³= + ∞
			3

2) (q1) الدالة f حدودية اذن قابلة للاشتقاق على IR
f '(x)=x²-4x+3
f '(x)=0⇔(x-1)(x-3)=0
⇔x=1 ∨ x=3
وبما ان a=1>0 فان الدالة f تزايدية قطعا على ]-∞;1] و [3;+∞[ وتناقصية قطعا على [1;3]

x	-∞		1		3		+∞
f'(x)		+	0	-	0	+
f	-∞	↗	-2/3	↘	-2	↗	+∞

(q2) لدينا f تزايدية قطعا على ]-∞;1] وتناقصية قطعا على [1;3] اذن -2/3 قيمة قصوى للدالة f عند 1
لدينا f تناقصية قطعا على [1;3] وتزايدية قطعا على [3;+∞[ اذن -2 قيمة دنيا للدالة f عند3

تمرين 3 tp

لتكن f دالة عددية معرفة كالتالي

f(x)=	x²+x-1
	2x-2

1) احسب النهايات عند محدات الدالة f
2) ادرس رتابة الدالة f وانشئ جدول التغيرات

تصحيح

1) لدينا D={x∈IR / 2x-2≠0} =]-∞;1[∪]1;+∞[

lim -∞	f(x)=	lim -∞	x²	=	lim -∞	1	x	= -∞
			2x			2
lim +∞	f(x)=	lim +∞	x²	=	lim +∞	1	x	= +∞
			2x			2

لدينا lim_-∞f(x)= - ∞

lim -∞	f(x)	=	lim -∞	x²	=	1
	x			2x²		2

lim -∞	f(x)-	1	x =	lim -∞	2x-1	= 1
		2			2x-2

2) f دالة جذرية اذن قابلة للاشتقاق على مجموعة تعريفها D=IR\{1}

f'(x) =	(x²+x-1)'(2x-2)-(2x-2)'(x²+x-1)
	(2x-2)²
=	(2x+1)(2x-2)-2(x²+x-1)
	(2x-2)²
=	2x²-4x
	(2x-2)²

اذن

f'(x) =	x²-2x
	2(x-1)²

f'(x)=0⇔ x=0 ∨ x=2
f تزايدية قطعا على ]-∞;0] وعلى [2;+∞[ و تناقصية قطعا على [0;1[ وعلى ]1;2].

x	-∞		0		1			2		+∞
f'(x)		+	0	-			-	2	+
f	-∞	↗	1/2	↘	-∞	+∞	↘	5/2	↗	+∞