تمرين 1 tp

لتكن A; B و C ثلاث نقط بحيث
3AC^→=4BC^→
1) بين ان A مرجح النقطتين المتزنتين (B;4) ; (C;-1)
2) لتكن D نقطة بحيث 2AC^→+4BD^→=O^→
بين ان A مركز ثقل B; D

تصحيح

1) حسب علاقة شال
3AC^→=4BC^→⇔3AC^→=4(AC^→-AB^→)
⇔ 4AB^→+3AC^→-4AC^→=O^→
⇔4AB^→-AC^→=O^→
اذن A مرجح النقطتين المتزنتين (B;4) ; (C;-1)

2) لدينا 2AC^→+4BD^→=O^→
⇔2AC^→+4(BA^→+AD^→)=0^→
⇔2AC^→-4AB^→+4AD^→ =O^→
⇔8AB^→-4AB^→+4AD^→ =O^→
⇔4AB^→+4AD^→=0^→
⇔AB^→+AD^→=0^→
( لان AC^→=4AB^→
اي 2AC^→=8AB^→)
اذن A مرجح (B;1);(D;1) وهذا يعني A مركز ثقل B; D

تمرين 2 tp

G مرجح (A;k) و (B;t) حدد k و t في كل من الحالتين التاليتين
1) GA^→ + GB^→ = 2AB^→
2) 2GA^→ + AB^→ = O^→

تصحيح

G مرجح (A;k) و (B;t) يعني kGA^→ + tGB^→ = O^→
1) GA^→ + GB^→ = 2AB^→
⇔GA^→ + GB^→ = 2(AG^→+GB^→)
⇔3GA^→ - GB^→ = O^→
وهذا يعني ان G مرجح النقطتين المتزنين (A;3) و (B;-1)
اذن k=3 ; t=-1

2) 2GA^→ + AB^→ = O^→
⇔2GA^→ + (AG^→+GB^→) = O^→
⇔GA^→ + GB^→ = O^→
وهذا يعني ان G مرجح النقطتين المتزنتين (A;1) و (B;1)
اذن k=1 ; t=1.

تمرين 3 tp

ليكن (ABC) مثلثا و D نقطة بحيث AD^→ = 1,5AB^→
1) تحقق ان A مرجح (B;3) و (D;-2)
2) انشئ G مرجح (C;3) و (D;-2)
3) بين ان DG^→ = 3DC^→ ثم استنتج ان AG^→ و BC^→ مستقيميتان
4) حدد مجموعة النقط M من المستوى بحيث
||-2MD^→+3MB^→||=||-2MD^→+3MC^→||

تمرين 4 tp

انشئ G مرجح (A;-1) ; (B;3) ; (C;1)

تصحيح

نلاحظ ان النقطتين (A,-1) ; (C,1) ليس لهما مرجحا لان -1+1=0 اذن لا يمكن تطبيق التجميعية على A و C
نأخذ النقطتين (A;-1) ; (B;3) لان -1+3=2≠0
اذن يقبلان مرجحا نرمز له ب H ومنه فان G مرجح النقطتين (H;2) ; (C;1)

يمكن ان نطبق التجميعية ايضا على النقطتين B; C لان 3+1=4≠0
ملاحظة يمكن رسم المرجح G برسم كل من H و C
لدينا H مرجح ل (A;-1) ; (b;3) يعني
∀M: -MA^→+3MB^→=(-1+3)MH^→
⇔ ∀M: -MA^→+3MB^→=2MH^→
⇔ -BA^→=2BH^→

يعني ان

ونعلم ان
∀M: -MA^→+3MB^→+MC^→=3MG^→
⇔ 2MH^→+MC^→=3MG^→
⇔ HC^→=3HG^→
وبالتالي