Rappel
1) (u_n)_n≥p est une suite arithmétique de raison r
si u_n+1=u_n+r tel que n≥p.

Si u₀ est le premier terme alors u_n=u₀+nr
Si u₁ est le premier terme alors u_n=u₁+(n-1)r.

2) Soit (u_n)_n≥p une suite arithmétique.
et S=u_p+u_p+1+ .. +u_n.

n-p+1 est le nombre de termes de la somme S.

Exeercice 1 tp

Soit (u_n)_n≥2 une suite arithmétrique de raison 5 et u₂=3.
1) Calculer u₂₁.
2) Calculer la somme S=u₂+u₃+ .. +u₂₁.

Correction

1) (u_n)_n≥2 est suite arithmétique
donc u_n=u₂+(n-2).r
ou encore u₂₁=3+5(21-2)=95+3
et donc u₂₁=98.
2) n-p+1=21-2+1=20 est le nombre de S

ainsi S=10×101=1010.

Exercice 2 tp

Soit (u_n)_n≥0 une suite arithmétique
tel que u₂₅=1000 et u₃₀=1250
1) Calculer la raison de la suite (u_n) et le terme u₀.
2) Calculer la somme S=u₀+u₁+..+u₃₀.

Correction

1) (a) On a u_n=u_p+(n-p)r
donc u₃₀=u₂₅+(30-25)r=u₂₅+5r
ou encore 1250=1000+5r ou encore 5r=1250-1000
ou encore 5r=250 donc r=50.

(b) On a u_n= u₀+n.r
donc u₃₀=u₀+30.50 ou encore u₀=1250-1500

ainsi u₀=-250.
2) La somme S
30-0+1=31 est le nombre de terme de S.

ainsi S=15500.

Exercice 3 tp

Soit (u_n)_n≥1 une suite arithmétique de raison 4 et u₁=7.
1) Calculer u₂₀₂₁
2) Ecrire u_n en fonction n.
3) Les nombres suivants sont-ils des termes de la suite (u_n)_n≥1
395 ; 808 ; 8015 ?
4) Calculer la somme S=u₁+u₂+ .. +u_nen fonction n.

Correction

1) (u_n)_n≥1 est suite arithmétique donc u_n=u₁+(n-1)r
ou encore u₂₀₂₁=7+2020.4 donc u₂₀₂₁=8087.

2) On a u_n=u₁+(n-1)r=7+4(n-1)
donc u_n=3+4n tel que n≥1.

3) (a) 395 est un terme de la suite s'il existe n≥1 tel que 395=3+4n
4n=395-3=392 donc n=98
ainsi 395 est un terme et u₉₈=395
(b) 808 est un terme de la suite s'il existe n≥1 tel que 808=3+4n
4n=808-3=805 et puisque 805 n'est pas divisible par 4 alors 808 n'est pas un terme de la suite.

(c) 8015 est un terme de la suite s'il existe n≥1 tel que 8015=3+4n
4n=8015-3=8012 donc n=2003
ainsi 8015 est un terme de la suite et u₂₀₀₃=8015.
4) n-1+1=n est le nombre de terme de S

et donc S=n(5+2n) tel que n∈IN*.