Fonction Logarithme (1)
Rappel
La fonction primitive de la fonction
| x→ | 1 |
| x |
sur ]0;+∞[ et qui s'annule en 1 est appelée fonction logarithme népérien notée ln.
Il existe un nombre réel unique noté e tel que ln(e)=1 approximativement e≃2,718.
ln1=0 et lne=1
1) Dln=IR+* est l'ensemble de définition de ln.
2) La fonction ln est dérivable
sur ]0;+∞[
| ∀x∈]0;+∞[: ln'(x) = | 1 |
| x |
3) Soint x et y∈]0;+∞[
lnx=lny ⇔ x=y
lnx.y=lnx + lny
| ln( | 1 | ) = - ln(y) | ln( | x | ) = ln(x) - ln(y) | |
| y | y | |||||
| ln( √(x) ) = | 1 | ln(x) |
| 2 |
(∀n∈ℤ): ln(xn)=nln(x).
lnx ≤ lny ⇔ x≤y
Exercice 1 tp
Si on prend ln(3) ≃ 1,1 et ln(7) ≃ 1,95
calculer ln(21)
Correction
21=3×7 donc ln(21)=ln(3) + ln(7)
donc ln(21) ≃ 1,1+1,95 alors ln(21)≃3,05.
Exercice 2 tp
Si on pose ln(81)≃4,4
calculer ln(9) et déduire ln(3).
Correction
81=9×9 donc ln(81)=ln(9)+ln(9)
donc 4,4≃2ln(9) alors ln(9)≃2,2
On a également 9=3×3
donc ln(9)=ln(3) + ln(3)=2ln(3)
ainsi 2,2≃2ln(3) alors ln(3)≃1,1
Exercice 3 tp
Simplifier E=ln(20)+ln(12)-ln(15)
Correction
Il existe plus qu'une méthode de répondre à cette question
ln(20)=ln(4×5)=ln(4)+ln(5)
ln(12)=ln(4×3)=ln(4)+ln(3)
ln(15)=ln(3×5)=ln(3)+ln(5)
donc
E=ln4+ln5+ln4+ln3-(ln3+ln5)
=2ln(4)=2ln(2²)
ainsi E=4ln(2)
Exercice 4 tp
Simplifier
A=ln2-ln18+ln9
| B = ln | 4 | + ln | 3 | + ln | 5 | + ln | 7 |
| 3 | 5 | 7 | 2 |
C=ln(√2 +1)2020+ln(√2 -1)2020.
Correction
A=ln2-ln18+ln9=ln2-ln(2×9)+ln9
=ln2-(ln2+ln9)+ln9=ln2-ln2-ln9+ln9
donc A = 0.
| B = ln | 4 | + ln | 3 | + ln | 5 | + ln | 7 |
| 3 | 5 | 7 | 2 |
| = (ln | 4 | + ln | 3 | ) + (ln | 5 | + ln | 7 | ) |
| 3 | 5 | 7 | 2 |
| = (ln | 4 | × | 3 | ) + (ln | 5 | × | 7 | ) |
| 3 | 5 | 7 | 2 |
| = ln | 4 | + ln | 5 | = ln ( | 4 | × | 5 | ) |
| 5 | 2 | 5 | 2 |
| = ln | 4 |
| 2 |
donc B=ln (2).
C=ln(√2 +1)2020 + ln(√2 -1)2020
=ln((√2 +1)2020)(√2 -1)2020
=ln[(√2 +1)(√2 -1)]2020
=2020ln[(√(2))² - 1²]
=2020ln(2 - 1)=ln(1) = 0
donc C = 0.