(1) دالة اللوغاريتم
تذكير
الدالة الاصلية الوحيدة للدالة العددية
x→ | 1 |
x |
المعرفة على ]0;+∞[ التي تنعدم في 1 تسمىدالة اللوغاريتم النبيري ونرمز لها ب ln.
يوجد عدد حقيقي وحيد يرمز له ب e بحيث ln(e)=1 بالتقريب e≃2,718.
ln1=0 و lne=1
1) Dln=]0;+∞[ مجموعة تعريف ln.
2) الدالة ln
قابلة للاشتقاق على
]0;+∞[
∀x∈]0;+∞[: ln'(x) = | 1 |
x |
3) لتكن (x;y∈]0;+∞[)
lnx=lny ⇔ x=y
ln(xy)=ln(x)+ln(y)
ln( | 1 | ) = - ln(y) | ln( | x | ) = ln(x) - ln(y) | |
y | y |
ln( √(x) ) = | 1 | ln(x) |
2 |
(∀n∈ℤ): ln(xn)=nln(x) .
lnx<lny ⇔ x<y.
تمرين 1 tp
اذا اخذنا ln(3)≃1,1 و ln(7)≃1,95
احسب ln(21).
تصحيح
1) لدينا
21=3×7
اذن
ln(21)=ln(3)+ln(7)
ومنه فان ln(21)≃1,1+1,95
اذن ln(21)≃3,05.
تمرين 2 tp
اذا اخذنا ln(81)≃4,4
احسب ln(9) واستنتج ln(3).
2) لدينا 81=9²
اذن ln(81)=ln(9²)=2ln(9)
ومنه فان
4,4≃2×(9)
اذن ln(9)≃2,2
ولدينا
9=3² اذن ln(9)=ln(3²)=2ln(3)
ومنه فان 2,2≃2ln(3)
وبالتالي ln(3)≃1,1.
تمرين 3 tp
بسط E=ln(20)+ln(12)-ln(15).
تصحيح
توجد عدة طرق للاجابة عن هذا السؤال لدينا
ln(20)=ln(4×5)=ln(4)+ln(5)
ln(12)=ln(4×3)=ln(4)+ln(3)
ln(15)=ln(3×5)=ln(3)+ln(5)
اذن
E=ln4+ln5+ln4+ln3-(ln3+ln5)
=2ln(4)=2ln(2²)
وبالتالي E=4ln(2).
تمرين 4 tp
بسط ما يلي
A=ln2+ln18-ln9.
B = ln | 4 | + ln | 3 | + ln | 5 | + ln | 7 |
3 | 5 | 7 | 2 |
C=ln(√2 +1)2020+ln(√2 -1)2020.
تصحيح
A=ln2-ln18+ln9
=ln2-ln(2×9)+ln 9
=ln2-(ln2+ln9)+ln9
=ln2-ln2-ln9+ln9
اذن A = 0.
B = ln | 4 | + ln | 3 | + ln | 5 | + ln | 7 |
3 | 5 | 7 | 2 |
= (ln | 4 | + ln | 3 | ) + (ln | 5 | + ln | 7 | ) |
3 | 5 | 7 | 2 |
= (ln | 4 | × | 3 | ) + (ln | 5 | × | 7 | ) |
3 | 5 | 7 | 2 |
= ln | 4 | + ln | 5 | = ln ( | 4 | × | 5 | ) |
5 | 2 | 5 | 2 |
= ln | 4 |
2 |
اذن B = ln (2).
C=ln(√2 +1)2020 +ln(√2 -1)2020
=ln((√2 +1)2020)(√2 -1)2020
=ln[(√2 +1)(√2 -1)]2020
=2020ln[(√(2))² - 1²]
=2020ln(2-1)=ln(1)
اذن C = 0.