تذكير
الدالة الاصلية الوحيدة للدالة العددية

المعرفة على ]0;+∞[ التي تنعدم في 1 تسمىدالة اللوغاريتم النبيري ونرمز لها ب ln.
يوجد عدد حقيقي وحيد يرمز له ب e بحيث ln(e)=1 بالتقريب e≃2,718.
ln1=0 و lne=1
1) D_ln=]0;+∞[ مجموعة تعريف ln.
2) الدالة ln قابلة للاشتقاق على ]0;+∞[

3) لتكن (x;y∈]0;+∞[)
lnx=lny ⇔ x=y
ln(xy)=ln(x)+ln(y)

(∀n∈ℤ): ln(xⁿ)=nln(x) .
lnx<lny ⇔ x<y.

تمرين 1 tp

اذا اخذنا ln(3)≃1,1 و ln(7)≃1,95
احسب ln(21).

تصحيح

1) لدينا 21=3×7 اذن ln(21)=ln(3)+ln(7)
ومنه فان ln(21)≃1,1+1,95 اذن ln(21)≃3,05.

تمرين 2 tp

اذا اخذنا ln(81)≃4,4
احسب ln(9) واستنتج ln(3).

2) لدينا 81=9² اذن ln(81)=ln(9²)=2ln(9)
ومنه فان 4,4≃2×(9)
اذن ln(9)≃2,2
ولدينا 9=3² اذن ln(9)=ln(3²)=2ln(3)
ومنه فان 2,2≃2ln(3) وبالتالي ln(3)≃1,1.

تمرين 3 tp

بسط E=ln(20)+ln(12)-ln(15).

تصحيح

توجد عدة طرق للاجابة عن هذا السؤال لدينا
ln(20)=ln(4×5)=ln(4)+ln(5)
ln(12)=ln(4×3)=ln(4)+ln(3)
ln(15)=ln(3×5)=ln(3)+ln(5)
اذن E=ln4+ln5+ln4+ln3-(ln3+ln5)
=2ln(4)=2ln(2²)
وبالتالي E=4ln(2).

تمرين 4 tp

بسط ما يلي
A=ln2+ln18-ln9.

C=ln(√2 +1)²⁰²⁰+ln(√2 -1)²⁰²⁰.

تصحيح

A=ln2-ln18+ln9 =ln2-ln(2×9)+ln 9
=ln2-(ln2+ln9)+ln9 =ln2-ln2-ln9+ln9
اذن A = 0.

اذن B = ln (2).

C=ln(√2 +1)²⁰²⁰ +ln(√2 -1)²⁰²⁰
=ln((√2 +1)²⁰²⁰)(√2 -1)²⁰²⁰
=ln[(√2 +1)(√2 -1)]²⁰²⁰
=2020ln[(√(2))² - 1²]
=2020ln(2-1)=ln(1)
اذن C = 0.