للتذكير
1) لتكن f دالة عددية معرفة على مجال I حيث a∈I و (C) المنحنى الممثل للدالة f في معلم
اذا كانت f قابلة للاشتقاق في النقطة a فان (C) يقبل مماسا (T) في النقطة ذات الأفصول a ميله f '(a)
ومعادلة المماس (T) تكتب على الشكل
y = f '(a)(x - a) + f(a) وتسمى معادلة المماس (T)
2) ليكن n∈IN* الدالة f:x→xⁿ قابلة للاشتقاق على IR
ولدينا (∀x∈IR) f '(x) = nx^n-1.

3) لتكن f و g دالتين قابلتين للاشتقاق على مجال I
و k∈IR و n∈IN*
الدوال f+g و k.f و f×g و f ⁿ هي ايضا دوال قابلة للاشتقاق على المجال I ولدينا لكل x∈I

(f + g) '(x)	=	f '(x) + g '(x)
(k.f) '(x)	=	k.f '(x)
(f g) '(x)	=	f '(x)g(x) + f(x)g '(x)
(fn) '(x)	=	nfn-1(x)f '(x)

بالاضافة الى ذلك اذا كانت الدالة g لا تنعدم على I فان خارج f على g قابل للاشتقاق ايضا على I ولكل x∈I

∀x∈I: (	f	)'(x) =	f'(x)g(x) - f(x)g'(x)
	g		(g(x))²

حالة خاصة

(	1	)'(x) =	- g '(x)
	g		(g(x))²

4) كل دالة حدودية قابلة للاشتقاق على IR
كل دالة جذرية قابلة للاشتقاق على حيز تعريفها.

تمرين 1 tp

لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي
f(x)=x²+2x.
1) حدد f'(x) حيث x∈IR.
2) حدد معادلة المماس لمنحنى الدالة f عند النقطة ذات الأفصول 1.

تصحيح

1) f دالة حدودية اذن قابلة للاشتقاق على IR
ليكن x∈IR
f'(x)=(x²+x)'=(x²)'+(2x)'=2x+2
وبالتالي لكل x∈IR لدينا f'(x)=2x+2.

2) f دالة قابلة للاشتقاق على IR وبالخصوص عند 1 اذن منحناها يقبل مماسا T عند النقطة ذات الأفصول 1 معادلته تكتب على الشكل
y=f'(1)(x-1)+f(1)
لدينا f(x)=x²+2x اذن f(1)=1²+2.1=3
ولدينا f'(x)=2x+2 اذن f'(1)=2.1+2=4 ومنه فان y=4(x-1)+3
وبالتالي T: y=4x-1.

تمرين 2 tp

لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي
f(x)=x³+x²+x+2
حدد f'(x) حيث x∈IR.

تصحيح

f دالة حدودية اذن قابلة للاشتقاق على IR. ليكن x∈IR
f'(x)=(x³+x²+x+2)'
=3x²+2x+1+0
وبالتالي لكل x∈IR لدينا f'(x)=3x²+2x+1.

تمرين 3 tp

لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي
f(x)=-5x³+2x
حدد f'(x) حيث x∈IR.

تصحيح

f دالة حدودية اذن قابلة للاشتقاق على IR. ليكن x∈IR
f'(x)=(-5x³+2)'=(-5x³)'+(2x)'
= -5.(x³)'+2=-5.3x²+2
وبالتالي لكل x∈IR لدينا f'(x)=-15x²+2.

تمرين 4 tp

لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي
f(x)=x³+5x²+7x+13
حدد f'(x) حيث x∈IR.

تصحيح

f دالة حدودية اذن قابلة للاشتقاق على IR. ليكن x∈IR
f'(x)=(x³+5x²+7x-13)'
= (x³)'+(5x²)'+(7x)-(13)'
= 3x²+5(2.x)+7+0
وبالتالي لكل x∈IR لدينا f'(x)=3x²+10x+7.