تمرين 1 tp

حل في IR المعادلة التالية
(e^x)²-5e^x+4=0.

تصحيح

المعادلة (E) معرفة في IR
ونلاحظ انها معادلة من الدرجة الثانية
وذلك بوضع e^x=X
X²-3X+2=0
Δ = b²-4ac =(-3)²-4.2=1>0
اذن هذه المعادلة تقبل حلين مختلفين

اذن X₁=1 و X₂=2
المطلوب تحديد قيم الحرف الصغير x.

نعلم ان X=e^x.
الحالة الاولى
X₁=1 ⇔ e^x=1 ⇔ x=ln(1)=0
الحالة الثانية
X₂=4 ⇔ e^x=2 ⇔ x=ln(2)
وبالتالي S={0;ln(2)}.

تمرين 2 tp

حل في IR المتراجحتين التاليتين
1) e^x < 1
2) e^x ≥ 3.

تصحيح

1) المتراجحة e^x<1 معرفة على IR
e^x<1 ⇔ ln(e^x)<ln1
⇔ x<0 ⇔ x∈]-∞;0[
اذن S=]-∞;0[.
2) المتراجحة e^x≥3 معرفة على IR
e^x ≥ 3 ⇔ ln(e^x) ≥ ln3
⇔ x ≥ ln3 ⇔ x∈ [ln3 ; +∞[
اذن S = [ln3 ; ∞[.

تمرين 3 tp

حل في IR المتراجحة التالية
(e^x)² - e^x - 2 ≥0.

تصحيح

المتراجحة (e^x)² - e^x - 2 ≥ 0 معرفة على IR
نضع X = e^x ونحصل على المتراجحة
X² - X - 2 ≥ 0
اولا نحل المعادلة X² - X - 2 = 0 حيث X > 0
Δ = (-1)² - 4.(-2) = 1 + 8 = 9 > 0.

اذن X₁ = -1 و X₂ = 2
ومنه فان
X² - X - 2 = a(X - X₁)(X - X₁)
أي X² - X - 2 = (X + 1)(X - 2)

ندرس الآن اشارة X² - X - 2 في ]0 ; +∞[

X²-X-2≥0 ⇔ X∈[2;+∞[
وبما ان X = e^x فان
X ≥ 2 ⇔ e^x ≥ 2
⇔ x ≥ ln(2)
اذن S = [ln2 ; +∞[.

طريقة ثانية
X²-X-2=(X+1)(X-2)
=(e^x+1)(e^x-2)
لدينا e^x+1>0
اذن يكفي دراسة اشارة e^x-2 ومنه فان
e^x-2≥0 ⇔ e^x≥2
⇔ x≥ln(2)
اذن S = [ln(2) ; +∞[.