Rappel
1) La fonction Exponentielle népérien notée exp est l'unique fonction qui vérifie trois conditions
(a) La fonction exp est dérivable sur IR
(b) La fonction exp et sa fonction dérivée sont égales
s'est à dire ∀x∈IR/ (exp)'(x)'=exp(x)
(c) exp(0)=1
De plus la fonction exp est strictement positive et strictement croissante sur IR.

2) Propriétés
Soient x∈IR et y∈]0;+∞[
On a exp(x)=e^x
e^x=y ⇔ x=ln(y)

Soient x ; y∈IR et n∈IN

3) Limites usuelles

Exercice 1 tp

Résoudre dans IR les équations suivantes
1) e^x=5
2) e^x=-3

Correction

1) L'équation e^x=5 est définie sur IR
On sait que e^x=5 ⇔ x=ln5
donc S={ ln5 }
2) L'équation e^x=-3 est imposible car ∀x∈IR / e^x>0 donc S=∅.

Exercice 2 tp

Résoudre dans IR l'équation
(E): e^x+1=e^2-3x.

Correction

L'équation (E) est définie sur IR
Soit x∈IR
e^{x + 1}=e^2-3x ⇔ x+1=2-3x
⇔ x+3x=2-1 ⇔ 4x=1

Exercice 3 tp

Résoudre dans IR l'équation suivante

Correction

(∀x∈IR) e^x>0 donc e^x≠0
donc l'équation (E) est définie sur IR.

Soit x∈IR

⇔ e^x=√(4) ou e^x =-√(4)
⇔ e^x=2 ou e^x=-2
On a e^x=2 ⇔ x=ln(2)
et l'équation e^x =-2 est impossible dans IR
car (∀x∈IR) e^x>0
et donc S={ln(2)}.

Exercice 4 tp

Résoudre dans IR l'équation suivantes
(E): e^2x-2e^x+1=0.

Correction

L'équation (E) est définie sur IR
Soit x∈IR on a e^2x=(e^x)²
(E) ⇔ (e^x)²-2e^x+1=0
On pose e^x=X donc (E) devient X²-2X+1+0
(E) ⇔ (X-1)²=0 ⇔ X-1=0 ⇔ X=1
et donc e^x=1 ou encore x=0 ainsi S={0}.