Exercice 1 tp

Déterminer parmi les expressions suivantes qui sont des propostions logiques
1) x + 5 = 0
2) Tout nombre naturel est positif
3) ∃x∈IR / x + 3 ≥ 0
4) ∃x∈IR / x + y + 3 ≥ 0
5) (∀x∈IR)(∀y∈IR) x+y+3≥0.

Correction

1) L'expression x + 5 = 0 est liée à x
Si x = 7 alors 7 + 5 = 12 est une proposition fausse

Et si x = -5 alors -5 + 5 = 0 est une proposition vraie
On sait qu'une propostion ne peut être vraie et fausse
Ainsi x + 5 = 0 est une fonction propositionnelle de la variable réel x et n'est pas une proposition
2) (Tout nombre naturel est positif) est une proposition de plus elle est vraie car l'ensemble des entiers naturels est composé d'entiers positifs

3) L'expression (∃x∈IR / x + 3 ≥ 0) est composée de deux parties
(a) (x∈IR / x + 3 ≥ 0) est une fonction propositionnelle de la variable réel x
(b) Le quantificateur ∃ et avec ce Quantificateur, l'expression a un sens précis il suffit de prendre x = 1 1+3≥0
Ainsi (∃x∈IR / x + 3 ≥ 0) est une proposition et elle est vraie
4) L'expression (∃x∈IR / x + y + 3 ≥ 0) est composée de deux parties
(a) (x∈IR / x + y + 3 ≥ 0) est une fonction propositionnelle de deux variables x et y

(b) Le quantificateur ∃
Notons que le quantificateur ∃ ne fait référence qu'à la variable x
Ainsi l'expression (∃x∈IR / x + y + 3 ≥ 0) est une fonction propositionnelle liée à la variable y, pas une proposition
5) L'expresssion (∃x∈IR / x + y + 3 ≥ 0) est composée de deux parties
(a) (x∈IR)(y∈IR) / x + y + 3 ≥ 0) est une fonction propositionnelle de deux variables x et y

(b) Le quantificateur double ∀
Notons que le quantificateur ∀ fait successivement référence à la variable x puis à la variable y donc l'expression
(∀x∈IR)(∀y∈IR) / x + y + 3 ≥ 0 est une proposition logique
De plus elle est fausse il suffit de prendre x=-5 et y=0
-5+0+3≥0 est une proposition fausse

Exercice 2 tp

Déterminer la valeur de vérité de chacune des propositions suivantes
1) 2+3 ≠ 7
2) 2 ≤ 5
3) (-15 ∈IN)

Correction

(2+3 = 7) est une proposition fausse
sa négation 2+3 ≠ 7 est une proposition vraie
2 ≤ 5 est une proposition vraie
sa négation 2 > 5 عبارة منطقية خاطئة
(-15 ∈IN) est une proposition fausse
sa négation (-15∉IN) est une proposition vraie

Exercice 3 tp

Déterminer la valeur de vérité de chacune des propositions suivantes
1) (4 = 3+1) ∧ (7 > 5)
2) (8 est pair) ∧ (2) est impair
3) (5 = 1 + 7) et (8 = 2×5).

Correction

A savoir (et) = (∧)
1) (4 = 3+1) ∧ (7 > 5) est une proposition vraie
car les deux propositions sont vraies
2) (8 est pair) ∧ (2 est impair ) est une proposition fausse.

Car l'une des propositions est fausse (2 n'est pas impair)
3) (5 = 1 + 7) et(8 = 2×5) est une proposition fausse
car les deux propositions sont fausses.